Vendredi 1 juin 2018
10h30 Alexey Glutsyuk
Sur les billards polynomialement intégrables sur les surfaces à courbure constante
La version algébrique de la célèbre conjecture de Birkhoff (partiellement étudiée par Sergei Bolotin, Misha Bialy et Andrey Mironov) concerne un billard planaire, dont le flot géodésique possède une intégrale première non triviale polynomiale en le vecteur de la vitesse. Elle affirme, que s'il existe une intégrale polynomiale, qui est non constant le long de l'hypersurface de niveau unité du module de la vitesse, alors la table du billard est une ellipse. Nous présenterons la solution de la conjecture algebrique de Birkhoff et de sa généralisation aux billards d'une frontière lisse par morceaux sur une surface à courbure constante: la classification complète des billards polynomialement intégrables. Ceci est un résultat en commun, avec Misha Bialy et Andrey Mironov, de trois articles séparés: deux articles en commun de Bialy et Mironov et le preprint du conférencier. Nous ferons un survol de résultats concernant la conjecture originale (non algébrique) de Birkhoff, avec les résultats remarquables récents de Vadim Kaloshin, Alphonso Sorrentino et al. __
Sur les billards polynomialement intégrables sur les surfaces à courbure constante
La version algébrique de la célèbre conjecture de Birkhoff (partiellement étudiée par Sergei Bolotin, Misha Bialy et Andrey Mironov) concerne un billard planaire, dont le flot géodésique possède une intégrale première non triviale polynomiale en le vecteur de la vitesse. Elle affirme, que s'il existe une intégrale polynomiale, qui est non constant le long de l'hypersurface de niveau unité du module de la vitesse, alors la table du billard est une ellipse. Nous présenterons la solution de la conjecture algebrique de Birkhoff et de sa généralisation aux billards d'une frontière lisse par morceaux sur une surface à courbure constante: la classification complète des billards polynomialement intégrables. Ceci est un résultat en commun, avec Misha Bialy et Andrey Mironov, de trois articles séparés: deux articles en commun de Bialy et Mironov et le preprint du conférencier. Nous ferons un survol de résultats concernant la conjecture originale (non algébrique) de Birkhoff, avec les résultats remarquables récents de Vadim Kaloshin, Alphonso Sorrentino et al. __
Vendredi 8 juin 2018
10h 30 Robert Roussarie (Dijon) :
Forme normale et transition
Résumé:
L’existence de formes normales C∞ pour les champs de vecteurs, au voisinage de points partiellement hyperboliques, permet d’obtenir sans calculs excessifs la forme de la transition au voisinage de ces points. Par exemple, en utilisant une forme normale C∞, il est très facile d’établir que la transition au voisinage d’un point de selle hyperbolique de trace nulle, pour un champ de vecteurs C∞ de dimension 2, est de la forme suivante : x→x (1+xlnx·φ(x,xlnx) ),où φ est une fonction C∞. On peut établir des formules similaires pour les transitions au voisinage de points partiellement hyperboliques plus généraux.
J’illustrerai mon exposé à l’aide des familles particulières de champs de vecteurs que sont les systèmes lents-rapides en dimension 2. Les points singuliers obtenus dans la désingularisation d’un point de contact d’un tel système sont tous partiellement hyperboliques. En conséquence, la transition au voisinage d’un point de contact se présente comme composition de transitions au voisinage de points partiellement hyperboliques, points pour lesquels on a des formules de transition simples évoquées plus haut. On peut en déduire une formule simple pour la transition au voisinage de certains points de contact. Cette formule permet de calculer la borne supérieure du nombre de cycles limites bifurquant de certains cycles canard du système lent-rapide.
Forme normale et transition
Résumé:
L’existence de formes normales C∞ pour les champs de vecteurs, au voisinage de points partiellement hyperboliques, permet d’obtenir sans calculs excessifs la forme de la transition au voisinage de ces points. Par exemple, en utilisant une forme normale C∞, il est très facile d’établir que la transition au voisinage d’un point de selle hyperbolique de trace nulle, pour un champ de vecteurs C∞ de dimension 2, est de la forme suivante : x→x (1+xlnx·φ(x,xlnx) ),où φ est une fonction C∞. On peut établir des formules similaires pour les transitions au voisinage de points partiellement hyperboliques plus généraux.
J’illustrerai mon exposé à l’aide des familles particulières de champs de vecteurs que sont les systèmes lents-rapides en dimension 2. Les points singuliers obtenus dans la désingularisation d’un point de contact d’un tel système sont tous partiellement hyperboliques. En conséquence, la transition au voisinage d’un point de contact se présente comme composition de transitions au voisinage de points partiellement hyperboliques, points pour lesquels on a des formules de transition simples évoquées plus haut. On peut en déduire une formule simple pour la transition au voisinage de certains points de contact. Cette formule permet de calculer la borne supérieure du nombre de cycles limites bifurquant de certains cycles canard du système lent-rapide.