Vendredi 18 janvier 2013
Vendredi 18 janvier : Charles-Michel MARLE :
A propos de la note de Henri Poincaré de 1901 "Sur une forme nouvelle des
équations de la Mécanique"*
Résumé :
Dans une Note de février 1901 Henri Poincaré considère un système lagrangien en supposant qu'il existe, sur l'espace de configuration, une famille de champs de vecteurs formant une algèbre de Lie, telle qu'en chaque point, les valeurs de ces champs de vecteurs remplissent tout l'espace tangent. Poincaré exploite cette propriété pour établir des équations, équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange, mais exprimées avec d'autres variables. Les équations classiques d'Euler-Lagrange, et l'équation d'Euler pour le mouvement d'un corps rigide apparaissent comme des cas particuliers des équations établies par Poincaré
dans cette Note.
Depuis les années 1990, de nombreux auteurs travaillant dans le domaine dit "Mécanique Géométrique" ont publié des travaux utilisant les équations établies par Poincaré dans cette note, qu'ils appellent "équations d'Euler-Poincaré", et s'en servent pour une méthode de réduction qu'ils appellent "Réduction lagrangienne".
Je commencerai par exposer le contenu de la note de Poincaré dans le langage actuel. Puis j'expliquerai comment l'équation d'Euler-Poincaré peut s'écrire de manière intrinsèque en termes de l'application moment et de l'application de Legendre.
Je parlerai ensuite de la méthode de réduction dite "lagrangienne" que je comparerai avec la méthode mieux connue dite "de Marsden et Weinstein". J'indiquerai aussi comment une "rupture de symétrie" fait apparaître l'action d'un produit semi-direct de groupes et permet d'écrire les équations du mouvement sur une orbite coadjointe de ce produit, comme dans l'exemple du mouvement d'un corps solide ayant un point fixe soumis au champ de pesanteur.
A propos de la note de Henri Poincaré de 1901 "Sur une forme nouvelle des
équations de la Mécanique"*
Résumé :
Dans une Note de février 1901 Henri Poincaré considère un système lagrangien en supposant qu'il existe, sur l'espace de configuration, une famille de champs de vecteurs formant une algèbre de Lie, telle qu'en chaque point, les valeurs de ces champs de vecteurs remplissent tout l'espace tangent. Poincaré exploite cette propriété pour établir des équations, équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange, mais exprimées avec d'autres variables. Les équations classiques d'Euler-Lagrange, et l'équation d'Euler pour le mouvement d'un corps rigide apparaissent comme des cas particuliers des équations établies par Poincaré
dans cette Note.
Depuis les années 1990, de nombreux auteurs travaillant dans le domaine dit "Mécanique Géométrique" ont publié des travaux utilisant les équations établies par Poincaré dans cette note, qu'ils appellent "équations d'Euler-Poincaré", et s'en servent pour une méthode de réduction qu'ils appellent "Réduction lagrangienne".
Je commencerai par exposer le contenu de la note de Poincaré dans le langage actuel. Puis j'expliquerai comment l'équation d'Euler-Poincaré peut s'écrire de manière intrinsèque en termes de l'application moment et de l'application de Legendre.
Je parlerai ensuite de la méthode de réduction dite "lagrangienne" que je comparerai avec la méthode mieux connue dite "de Marsden et Weinstein". J'indiquerai aussi comment une "rupture de symétrie" fait apparaître l'action d'un produit semi-direct de groupes et permet d'écrire les équations du mouvement sur une orbite coadjointe de ce produit, comme dans l'exemple du mouvement d'un corps solide ayant un point fixe soumis au champ de pesanteur.