10h 30 Maxime Zavidovique :

Semi-orbites minimisantes des Applications Conservatives de
l’anneau déviant la verticale

Résumé : Si $f : S^1 \times \mathbb R$ est une Applications Conservatives de l’anneau déviant la verticale, on s’intéresse aux propriétés des semi-orbites minimisantes (de la forme $(f^k(x))_{k\leq 0}$). On montrera que beaucoup des résultats de la théorie d’Aubry-Mather s’étendent à ce cadre (ou y trouvent un analogue). Entre autre on montrera que
-toute telle semi-orbite admet un nombre de rotation $\rho$.
-si $\rho$ est irrationnel, toutes les semi-orbites correspondantes vivent dans un même pseudo-graphe plein (le terme sera défini) issu d’une solution KAM faible et tendent vers l’Aubry-Mather de même nombre de rotation,
-si $\rho$ est rationnel, alors il existe deux pseudo-graphes pleins issus de solutions KAM faiblement la réunion contient toutes les semi-orbites associées. De plus toute semi-orbite s’accumule sur une orbite périodique minimisante de l’Aubry-Mather correspondant.

On en déduira que chaque image de vertical par $f$ contient au plus 2 semi-orbites minimisantes pour un $\rho$ fixé (sachant que chaque verticale en possède au moins une). Enfin on donnera, si le temps le permet, une description géométrico-algorithmique des solutions KAM faibles associées à un $\rho$ rationnel (description réminiscente du cas du pendule et de ses revêtements finis).



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