CDF5, groupe 2, 2025-2026

Quelle surprise à la fin du dernier TD : le partage dans les maths c'est du bonheur !

Une information relative à la précarité étudiante

La ville de Paris soutient l'association StudHelp « qui aide à lutter contre la précarité alimentaire des étudiant(e)s ».

Comment trouver un stage ou s'orienter ?

Joindre l'Espace Carrière Étudiant de notre université (un membre de l'équipe est spécialiste du handicap).

Documents distribués ce semestre

• Informations sur le cours et les TD.
• Feuilles d'exercices :
  I. Espace vectoriel normé et espace métrique (exos bonus, aide e.v.n. et aide e.m.),
  II. Topologie des espaces métriques (exos bonus, complément (1) + complément (2)),
  III. Continuité (exos bonus, rappels et aide),
  IV. Différentielle (aide),
  V. Applications du calcul différentiel (aide),
  VI. Espaces de Hilbert (aide),
  VII. Séries de Fourier (aide).
• Archives d'interrogations écrites et d'examens :
  CC de calcul différentiel ;
  examens de calcul différentiel ;
  examens d'intégration et séries de Fourier.

Autres documents

• Résultats d'intégration à connaître :
  Tribu et mesure ;
  Intégrale de Lebesgue ;
  Fubini et changement de variable ;
  Espaces L^p.
• Compléments :
  boules pour les normes classiques ;
  limites de suites extraites ;
  th. de Schwarz (l'existence de la différentielle seconde suffit) ;
  suites de fonctions différentiables ;
  deux formules pour D exp (exercice corrigé que j'ai posé en M2 il y a longtemps) ;
  réduction des formes quadratiques ;
  autour du calcul du rang d'une matrice ;
  extension du calcul différentiel ;
• En vrac : l'axiome du choix, le phénomène de Gibbs, intermède musical (un problème auquel vous avez échappé), les règles d'Abel, la transformée de Fourier rapide.
  Pour vous distraire, vous pouvez vous intéresser au lien entre séries de Fourier et musique.

À propos de l'existence - ou non - d'une partie de ℝ non-mesurable pour la tribu de Lebesgue

On rappelle tout d'abord que toute partie borélienne de ℝ appartient (par définition) à la tribu de Lebesgue.
L'axiome du choix permet de construire une partie de ℝ qui n'appartient pas à la tribu de Lebesgue.
L'axiome de Solovay (non utilisé en analyse car on a du mal à se passer de l'axiome du choix), compatible avec la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel, exprime qu'au contraire la tribu de Lebesgue serait l'ensemble des parties de ℝ...

À propos de la divergence de la série trigonométrique d'une certaine fonction continue

  On pose    V_m(x) = ∑_1≤k≤m sin(kx)/k    (m ≥ 1 et x ∈ ℝ). On a :    M := sup_{x ∈ ℝ, m≥1} |V_m(x)| < +∞.
La suite de fonctions (f_n)_{n ≥ 1} définie par     f_n(x) = ∑_{1 ≤ p ≤ n} 2^-p sin(2m_px)V_mp(x)    où    m_p = 2^(2p)    (n ∈ ℕ ∖{0} et x ∈ ℝ)     converge uniformément.
  On note f ∈ 𝒞(ℝ) sa limite. On peut montrer que la série trigonométrique de f au point 0 est divergente.
(En effet :     |∑_1≤k≤mpa_2mp+k(f)|   =  2^-p-1∑_1≤k≤mp1/k   ≥  2^-p-1∑_1≤k≤mp-1 ∫_k^k+1dt/t   =  ln(2)/2     pour tout p ≥ 1.)
Par contre, en raison du théorème de Carleson-Hunt, la série trigonométrique de f converge presque partout vers f.

Phénomène de Gibbs pour les fonctions C¹ par morceaux

• Le théorème de Dirichlet, appliquée à la fonction « en dents de scie »   h : x∈]0,2π] ↦ 1/2 - x/(2π)   qui est 2π-périodique et C¹ par morceaux sur [0,2π], donne :
S_n(h)(x) =1/π ∑_1≤k≤n sin(kx)/k →_{n → +∞} 1/2 - x/(2π)     quand   0 < x < 2π.
D'après la règle d'Abel, (S_n(h))_n≥0 converge uniformément vers h sur tout segment de ]0,2π[. On s'attend à obtenir des valeurs d'adhérence dans [h(0^-),h(0⁺)]=[-1/2,1/2] pour les suites (S_n(h)(x_n))_n≥0 quand (x_n)_n≥0 décrit l'ensemble des suites de réels >0 de limite nulle. Qu'atteint-on asymptotiquement en dehors de [-1/2,1/2] ?
Une étude locale montre que la restriction de S_n(h) à [0,2π] a pour maximum    M_n := S_n(h)(π/(n+1))    et pour minimum -M_n.
Par ailleurs la suite de sommes de Riemann (M_n)_n≥0 est croissante de limite C/2, en notant   C := 2/π ∫₀^π sin(t)/t dt   ∈   [1,17;1,18].
• Soit f : [0,2π] → ℝ de classe C¹ par morceaux, de points de discontinuité distincts notés a₁, ..., a_p.
La fonction g définie par     g(a_k) = (f(a_k⁺)+f(a_k^-))/2 - ∑_l≠k (f(a_l⁺)-f(a_l^-)) h(a_k-a_l)     et     g(x) = f(x) - ∑_1≤k≤p (f(a_k⁺)-f(a_k^-))h(x-a_k)    pour x ∉ {a₁, ..., a_p}, est C¹ par morceaux et continue. Donc (S_n(g))_n≥0 converge uniformément vers g.
On a :    (h(·-a_k))̂(n) = e^-ina_k ĥ(n)    pour n∈ℤ, donc   S_n(g)(x)=S_n(f)(x) - ∑_1≤k≤p ((f(a_k⁺)-f(a_k^-))S_n(h)(x-a_k)    pour n≥0 et x∈[0,2π].
On en déduit que :      lim_{ε → 0⁺} limsup_{n → +∞} sup_{ak < x < ak+ε} |S_n(f)(x)-(f(a_k⁺)+f(a_k^-))/2|    =   C |f(a_k⁺)-f(a_k^-)|/2.
(Ce qui arrive dans le cas de la fonction en dents de scie est donc un phénomène général, dans lequel apparaît la même constante C.)

Phénomène de Gibbs en images

Cliquer sur "Évaluer" pour afficher le résultat au bout d'un certain temps, en lançant SageMath (vous pouvez aussi rentrer les instructions que vous souhaitez).
On peut utiliser Sage à distance sur SageMathCell.

Voici le contenu du fichier LaTeX (≠ pdflatex) qui permet d'avoir une belle figure, à recopier ici en utilisant le navigateur Firefox, avec "Postcript" comme "Output format" ("Compile" puis "in new window" - sinon "Preview" - en bas).
Variante en passant par son université : aller s'identifier là, créer un projet vide dans lequel recopier son texte, choisir le compilateur LaTeX dans le menu déroulant en haut à gauche puis cliquer sur "Recompiler".
Autre variante avec l'éditeur proposé par Sagemath : aller par ici, créer un projet contenant le fichier LaTeX, puis descendre dans le menu "Construire" sous l'aperçu du fichier pdf et prendre XeLaTeX comme "Engine".

%!TEX TS-program = xelatex
%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[text={18cm,25cm},hcentering,vmarginratio=1:2]{geometry}
%\usepackage[utf8]{inputenc} %Enlever le "%" au début de cette ligne si "xelatex" est remplacé par "latex"
\usepackage[T1]{fontenc} %Enlever le "%" au début de cette ligne si ces fontes ne sont pas disponibles
\usepackage[french]{babel}\pagestyle{empty}
\usepackage{amsfonts,pstricks-add}
\begin{document}
On considère la fonction $2\pi$-périodique $f \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ déterminée par :\\[1mm]
\hspace*{\fill}
$f(x) = \fontsize{10}{10}\selectfont
\left\{\begin{array}{cl}
-1&\text{ si } x \in \left]-\pi,0\right] \\[0.5mm]
1&\text{ si } x \in \left]0,\pi\right]
\end{array}\right.$.
\hspace*{\fill}\par\medskip
Voici les tracés des graphes des applications $S_{2n-1}(f)$ :
\par\vskip5mm\noindent\hspace*{\fill}
\psset{unit=2cm,algebraic=true}%
\begin{pspicture}(-3.5,-1.25)(3.55,1.325)
\psaxes[ticks=none,labels=none,arrowscale=1.5]{->}(0,0)(-3.5,-1.25)(3.5,1.3)[$x$,-90][$y$,180]
\uput[dr](0,0){$O$}
\def\f{0}
\multido{\n=1+1}{5}{%
\edef\f{\f+4/PI*sin((2*\n-1)*x)/(2*\n-1)}%
\ifnum\n=1\psplot[linecolor=cyan,plotpoints=100]{-3.14}{3.14}{\f}\fi
\ifnum\n=2\psplot[linecolor=orange,plotpoints=200]{-3.14}{3.14}{\f}\fi
\ifnum\n=3\psplot[linecolor=green,plotpoints=300]{-3.14}{3.14}{\f}\fi
\ifnum\n=4\psplot[linecolor=yellow,plotpoints=400]{-3.14}{3.14}{\f}\fi
\ifnum\n=5\psplot[linecolor=magenta,plotpoints=500]{-3.14}{3.14}{\f}\fi
}
\uput[d](-1,0.8){\parbox{2.4cm}{valeurs de $n$~:\\
\color{cyan} 1, \color{orange} 2, \color{green} 3, \color{yellow} 4, \color{magenta} 5}}
\end{pspicture}\hspace*{\fill}
\end{document}

Des exposés mathématiques filmés

Mathematic Park (vidéos en ligne).
« Mini-cours sur des sujets variés en mathématiques d'une durée d'environ 1h30. Les exposés sont suivis d'une collation conviviale. »
Un samedi par mois à 15h dans l'amphithéâtre Hermite de l'Institut Henri Poincaré.
Le 11 octobre 2025 à 15h, « Modélisation du système respiratoire » par Sébastien Martin.
Le 13 décembre 2025 à 15h, « Voyage en cyclotomie - De Gauss à Suzuki et Beiter » par Roger Mansuy (Lycée Saint-Louis, Paris).
Le 17 janvier 2026 à 15h, « ... » par Nina Aguillon.
Le 14 février 2026 à 15h, « ... » par Anne Vaugon.
Le 14 mars 2026 à 15h, « ... » par Guillaume Dubach.
Le 11 avril 2026 à 15h, « ... » par Vlerë Mehmeti.

Mathématiques en mouvement.
Le samedi 15 novembre 2025 Théorie des nombres : Harald Helfgott avec 6 exposés de 14h à 19h à l'IHP, 11 rue Pierre et Marie Curie 75005 Paris

Exposés "Un texte, une aventure mathématique" en partenariat avec Animath (vidéos en ligne sur le site de la BnF et ici) au Grand auditorium de la Bibliothèque François-Mitterrand (inscription gratuite mais obligatoire, à partir de la page de chaque conférence) :
« Un cycle annuel de quatre conférences pour tout public donnant un aperçu des mathématiques d'aujourd'hui. »
Le 21 janvier 2026 de 18h30 à 20h, « Bienaymé et l'extinction des familles » Sandrine Dallaporta (Université de Poitiers).
Le 18 février 2026 de 18h30 à 20h, « Sophie Germain et l'histoire secrète du dernier Théorème de Fermat » Emmanuel Peyre (Université Grenoble Alpes).
Le 18 mars 2026 de 18h30 à 20h, « De Cauchy aux réseaux de neurones, la descente de gradient et ses variantes » Simon Masnou (Université Claude Bernard-Lyon 1).
Le 1^er avril 2026 de 18h30 à 20h, « Les équations : la méthode de Descartes pour résoudre les problèmes géométriques » Nalini Anantharaman (Collège de France).

Cycle "Une question, un chercheur" (vidéos en ligne).
« Des conférences pour les élèves de classes préparatoires et les étudiants de licence »
Deux conférences par an, l'une en mathématiques, l'autre en physique.

Cycle "Mathématiques étonnantes" (vidéos en ligne).
« Les conférenciers feront découvrir, seuls ou en duo avec leur complice, une interaction inattendue entre différents domaines mathématiques ou entre mathématiques et applications. »

Ciné Club "Univers Convergents, Sciences, Fictions, Société".
Ce ciné club s'est achevé à la suite du Covid, mais ses débats ont été filmés et restent disponibles en ligne.
Il est remplacé par les projections de films en partenariat PariScience, lors de séances « labellisées Maison Poincaré ».

Quelques informations concernant les débouchés

Pour avoir une idée des nombreux débouchés dans la recherche en entreprise, voir ici et là.

"Document de prospective de la SMAI" (2008).
« Au moment où sont engagées de vastes réformes de l'organisation de la recherche scientifique nationale et de l'enseignement, il a semblé particulièrement utile à la SMAI de conduire une réflexion prospective sur les directions de recherche en mathématiques appliquées les plus prometteuses en termes d'avancées scientifiques, d'innovation industrielle, et de retombées sociétales. »

Brochure "Mathématiques L'explosion continue" (2013).
« Depuis une dizaine d'années, de nombreuses initiatives ont vu le jour en France pour mieux appréhender le rôle des mathématiques dans notre société. Les mathématiciens sont ainsi devenus plus conscients qu'ils se devaient de mieux faire connaître les spécificités et l'utilité de leur discipline. Une des premières initiatives fut la publication de l'Explosion des Mathématiques en 2002. Ce recueil a été largement diffusé et traduit en plusieurs langues. Il est maintenant épuisé même s'il reste accessible sur le web. Les quelque dix ans qui nous séparent de cette première édition ont vu une évolution très rapide de toutes les branches des mathématiques et leur développement croissant dans tous les domaines de la société : l'explosion continue ! »

Brochure "Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique" (2015)
« Réalisé en partenariat avec cinq sociétés savantes - la Société mathématique de France (SMF), la Société de mathématiques appliquées et industrielles (SMAI), la Société française de statistique (SFdS), la Société informatique de France (SIF), l'association Femmes & Mathématiques -, ce Zoom sur les métiers contribue au plan de refondation de l'approche des mathématiques engagé par le ministère de l'Éducation nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche. L'enjeu est de dédramatiser les représentations des élèves et de leur famille, de faire comprendre comment les raisonnements mathématiques, associés au numérique, soutiennent les progrès des sciences et des technologies, et de découvrir toutes les opportunités que les mathématiques et l'informatique offrent en termes d'insertion. »

Brochure "Zoom : métiers des mathématiques, de la statistique et de l'informatique" (2021)
« Cette brochure publiée par l'ONISEP a été réalisée en collaboration avec : la Société française de statistique (SFdS), la Société informatique de France (SIF), la Société de mathématiques appliquées et industrielles (SMAI), la Société mathématique de France (SMF), l'association Femmes & Mathématiques, l'Agence pour les Mathématiques en Interaction avec l'Entreprise (AMIES) et la Commission française pour l'enseignement des mathématiques (CFEM).
Elle complète les précédentes brochures sur le sujet par des illustrations de nouveaux métiers d'aujourd'hui : intelligence artificielle, big data, cybersécurité, traitement du langage naturel, blockchain et bien d'autres encore ! »

Rapport d'évaluation quelles mathématiques en France en 2022 ?
Le dossier préparé à cette occasion, puis mis à jour en 2024, sur le site du CNRS : indispensables mathematiques.