TO5, groupes Math2 et Math3, 2025-2026

Documents distribués ce semestre

Informations sur le cours, et les TD des groupes Math2 et Math3.
   Feuilles d'exercices :
I. Espaces métriques et espaces topologiques (aide, feuille I augmentée),
II. Suites et applications continues (aide, feuille II augmentée, rappels de L2 et bonus sur les valeurs d'adhérence dans ℝ),
III. Compacité (aide, feuille III augmentée, et un bonus hors programme avec Zorn).
IV. Espaces métriques complets (aide, feuille IV augmentée).
   Bonus (non imprimés) :
V. Connexité (aide et correction du dernier exercice),
l'alphabet grec des mathématiciens.

Réponses à des questions posées en TD

Dans les questions 2, 3, 4 ci-dessous on rencontrera dans des contextes différents le mot « complet » (c'est une coïncidence inattendue).

• Question 1 : par quoi remplacer l'utilisation des suites dans un espace topologique qui n'est pas métrisable ?
  Réponse.
• Question 2 : existence d'une partie de ℝ non-mesurable pour la tribu de Lebesgue (« complétée » de la tribu borélienne) ?
  L'axiome du choix permet de construire une partie de ℝ qui n'appartient pas à la tribu de Lebesgue.
  L'axiome de Solovay (non utilisé en analyse car on a du mal à se passer de l'axiome du choix), compatible avec la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel, exprime qu'au contraire la tribu de Lebesgue serait l'ensemble des parties de ℝ...
• Question 3 : que disent les théorèmes d'incomplétude de Gödel ?
  Réponse.
• Question 4 : « complété » d'un espace métrique (E,d) ?
  On dit qu'un espace métrique (Ẽ,d̃) muni d'une application isométrique (c'est-à-dire qui conserve les distances)  ĩ: E → Ẽ  est un complété de (E,d) si (Ẽ,d̃) est complet et ĩ(E) est dense dans Ẽ.
  Soit x₀ ∈ E. Pour tous x,z ∈ E, on pose  φ_x(z):=d(x,z)-d(x₀,z). On a :  φ_x ∈ (ℝ^E)_b  et  ‖φ_x-φ_y‖_∞ = d(x,y)  pour x,y ∈ E. On en déduit que l'adhérence de l'ensemble des φ_x dans (ℝ^E)_b est un complété de (E,d).
  On suppose donnés deux complétés (Ẽ,d̃) et (Ẽ',d̃') de E. On peut montrer qu'il existe une bijection isométrique  j : Ẽ → Ẽ'  telle que  ĩ' = j∘ĩ.

À propos de l'exercice 5 de la feuille sur la compacité

On a vu que toute bijection continue du disque unité fermé de ℝ² sur lui-même est un homéomorphisme.
Le « théorème d'invariance du domaine » (difficile) énonce que toute injection continue f d'un ouvert U de ℝⁿ dans ℝⁿ (n ∈ ℕ) a une image f(U) qui est un ouvert de ℝⁿ et l'application  x ∈ U ↦ f(x) ∈ f(U)  est un homéomorphisme.
Il en résulte que toute bijection continue du disque unité ouvert de ℝ² sur lui-même est un homéomorphisme.
On en déduit aussi, par l'absurde, que des ouverts non vides de ℝ^p et de ℝ^q ne peuvent être homéomorphes que si p=q :
si F est un homéomorphisme d'un ouvert non vide U de ℝ^p sur un ouvert V de ℝ^q avec p > q, alors l'application continue injective   f : x ∈ U ↦ (F(x),0,...,0) ∈ ℝ^p   a une image qui est un ouvert de ℝ^p (d'après le théorème d'invariance du domaine), ce qui est faux.
Cela permet de définir la dimension d'un espace métrique non vide E homéomorphe à un ouvert d'un espace ℝⁿ comme étant l'unique d ∈ ℕ tel que E est homéomorphe à un ouvert de ℝ^d.

Calcul différentiel de L3

Espaces vectoriels normés, Différentielle, formules de Taylor, Extremums locaux, Sous-variétés de ℝⁿ.
Complément : boules pour les normes classiques, réduction des formes quadratiques, autour du calcul du rang d'une matrice, suites de fonctions différentiables.

Fonctions holomorphes en L3

Uniquement la Formule des résidus.

Intégration et séries de Fourier de L3

Tribu et mesure, Intégrale de Lebesgue, Théorèmes de Fubini, Séries de Fourier, Espaces L¹ et L².
Compléments : liminf et limsup, l'axiome du choix, le phénomène de Gibbs, intermède musical (sous forme de problème), les règles d'Abel, la transformée de Fourier rapide.

Après les séries de Fourier ?

Au niveau M1 : Espaces de fonctions continues, Applications linéaires continues, Espaces L^p et convolution, Espaces de Hilbert, Transformée de Fourier sur ℝ^m, Distributions sur un ouvert Ω de ℝ^m, Formes linéaires continues.
Puis au niveau M2 : Groupes et algèbres de Lie.

Probabilités de L3 MIASHS

lois de probabilité usuelles, variables aléatoires réelles, vecteurs aléatoires, fonctions caractéristiques, théorèmes limites, vecteurs gaussiens.

Les résumés précédents dans des fichiers plus compacts

L2 et L3 : analyse de L2, topologie (dans un seul fichier), calcul différentiel, probabilités, analyse de L3.
M1 : analyse de M1 et d'autres choses, les variétés C^∞.
M2 : analyse sur les variétés C^∞ (extrait de ma page web de M2).
Lorsque X est une variétés riemannienne, par exemple une sous-variété C^∞ de ℝⁿ, la page 2 du dernier résumé montre que les fonctions localement intégrables sur X s'identifient comme dans le cas des ouverts de ℝⁿ à des distributions sur X.

Étude de l'application exponentielle

  On note ‖ ‖ la norme sur ℳ(n,ℝ) subordonnée à la norme euclidienne usuelle sur ℝⁿ.
  Soit M ∈ ℳ(n,ℝ). On a ∑_p=0^+∞ 1/p! ‖M^p‖ ≤ e^‖M‖ < +∞, ce qui permet de poser : exp M = ∑_p=0^+∞ 1/p! M^p.
  Soit p∈ℕ. On pose : f_p(A) = A^p, en particulier f₀(A) = I, quand A ∈ ℳ(n,ℝ).
  On constate que f_p est différentiable et Df_p(A) · H = ∑_{0 ≤k≤p-1} A^k H A^p-1-k pour A,H ∈ ℳ(n,ℝ).
  En particulier, lorsque p≠0 : ‖Df_p(A)‖ ≤ p‖A‖^p-1 pour A ∈ ℳ(n,ℝ).
À partir de cette inégalité, on constate facilement que la série des 1/p! Df_p(A) converge uniformément dans toute boule ouverte de ℳ(n,ℝ) centrée en 0. Un résultat hors programme de « convergence uniforme + différentiabilité » permettrait de conclure que l'application exponentielle est différentiable avec   D exp(A) = ∑_n=0^+∞ 1/p! Df_p(A). Pour se passer de ce résultat, on va utiliser les rappels suivants.

Deux rappels (« convergence uniforme + dérivabilité » et « convergence uniforme + continuité »)

• Soient I ⊆ ℝ un intervalle infini, φ_p : I → ℝ pour p ∈ ℕ, et a ∈ I.
  On suppose que :
(i) φ_p est dérivable pour tout p ≥ 0 ;
(ii) il existe x₀ ∈ I pour lequel la suite (φ_p(x₀))_{p ≥ 0} converge ;
(iii) la suite (φ'_p)_{p ≥ 0} converge uniformément.
Alors (φ_p)_{p ≥ 0} converge uniformément sur toute partie bornée de I vers une fonction dérivable φ telle que : φ'(x) = lim_{n → +∞} φ'_p(x) pour x ∈ I.
  • Soient Ω un ouvert d'un espace vectoriel normé E de dimension finie, φ_p : Ω → ℝ pour p ∈ ℕ, φ : Ω → ℝ, et a ∈ Ω.
  On suppose que :
(i) φ_p est continue en a pour chaque p ∈ ℕ ;
(ii) (φ_p)_{p ≥ 0} converge uniformément vers φ.
Alors φ est continue en a.
  • En raisonnant coordonnée par coordonnée, on peut remplacer dans les rappels ci-dessus l'espace d'arrivée ℝ par un espace vectoriel normé F de dimension finie.

Différentiabilité de l'application exponentielle (sans rechercher de résultat élaboré)

  On va vérifier que l'application exponentielle est de classe C¹, c'est-à-dire qu'elle a des dérivées partielles continues.
On note A = (a_i,j)_{1≤ i ≤ n, 1≤ j ≤ p} et s'intéresse aux éventuelles dérivées partielles ∂exp(A)/∂a_i,j.
  Soient i,j ∈ {1, ..., n}. On note E_i,j la matrice dans ℳ(n,ℝ) dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient sur la i^e ligne et la j^e colonne qui est égal à 1.
  Soit A ∈ ℳ(n,ℝ). On pose : ψ_p(t) = 1/p! f_p(A+tE_i,j) pour t ∈ ]-1,1[.
  On sait que la série (∑ ψ_p(t))_{p ≥ 0} converge vers exp(A+tE_i,j).
  D'autre part, ψ_p est dérivable et : ψ'_p(t) = 1/p! Df_p(A+tE_i,j) · E_i,j.
  D'où, lorsque p≠0 :   ‖ψ'_p(t)‖ ≤ p (‖A‖+‖E_i,j‖)^p-1 ‖E_i,j‖    avec ∑_p=0^+∞ p (‖A‖+‖E_i,j‖) ≤ e^{‖A‖+‖E_i,j}‖.
  D'après le premier rappel ci-dessus avec φ_p(t)=∑_k=0^pψ_p(t) pour t ∈ ]-1,1[, la série (∑ ψ_p)_{p ≥ 0} converge simplement vers une fonction dérivable et (∑_p=0^+∞ ψ_p)'(t) = ∑_p=0^+∞ ψ'_p(t) pour t ∈ ]-1,1[.
En particulier ∂exp(A)/∂a_i,j = d/dt(exp(A+tE_i,j))|_t=0 = (∑_p=0^+∞ ψ_p)'(0) = ∑_p=0^+∞ ψ'_p(0) = ∑_p=0^+∞ 1/p! Df_p(A) · E_i,j
  Le second rappel ci-dessus appliqué à  A ↦ ∑_k=0^p 1/p! Df_p(A) · E_i,j  dans la boule ouverte de ℳ(n,ℝ) de centre 0 et rayon R montre que l'application exp de ℳ(n,ℝ) dans ℳ(n,ℝ) est de classe C¹ avec :
   D exp(A) · H = ∑_{1≤ i,j ≤ n} h_i,j∂exp(A)/∂a_i,j = ∑_n=0^+∞ 1/p! Df_p(A) · H    pour H= (h_i,j)_{1≤ i ≤ n, 1≤ j ≤ p} ∈ ℳ(n,ℝ).

Des exposés mathématiques filmés

Mathematic Park (vidéos en ligne).
« Mini-cours sur des sujets variés en mathématiques d'une durée d'environ 1h30. Les exposés sont suivis d'une collation conviviale. »
Un samedi par mois à 15h dans l'amphithéâtre Hermite de l'Institut Henri Poincaré.

Exposés "Un texte, une aventure mathématique" en partenariat avec Animath (vidéos en ligne sur le site de la BnF et ici) au Grand auditorium de la Bibliothèque François-Mitterrand (inscription gratuite mais obligatoire, à partir de la page de chaque conférence) :
« Un cycle annuel de quatre conférences pour tout public donnant un aperçu des mathématiques d'aujourd'hui. »
Le 21 janvier 2026 de 18h30 à 20h, Sandrine Dallaporta (Université de Poitiers).
Le 18 février 2026 de 18h30 à 20h, Emmanuel Peyre (Université Grenoble Alpes).
Le 18 mars 2026 de 18h30 à 20h, Simon Masnou (Université Claude Bernard-Lyon 1).
Le 1^er avril 2026 de 18h30 à 20h, Nalini Anantharaman (Collège de France).

Cycle "Une question, un chercheur" (vidéos en ligne).
« Des conférences pour les élèves de classes préparatoires et les étudiants de licence »
Deux conférences par an, l'une en mathématiques, l'autre en physique.

Cycle "Mathématiques étonnantes" (vidéos en ligne).
« Les conférenciers feront découvrir, seuls ou en duo avec leur complice, une interaction inattendue entre différents domaines mathématiques ou entre mathématiques et applications. »

Ciné Club "Univers Convergents, Sciences, Fictions, Société".
Ce ciné club s'est achevé à la suite du Covid, mais ses débats ont été filmés et restent disponibles en ligne.
Il est remplacé par les projections de films en partenariat PariScience, lors de séances « labellisées Maison Poincaré ».

Quelques informations concernant les débouchés

Pour avoir une idée des nombreux débouchés dans la recherche en entreprise, voir ici et là.

"Document de prospective de la SMAI" (2008).
« Au moment où sont engagées de vastes réformes de l'organisation de la recherche scientifique nationale et de l'enseignement, il a semblé particulièrement utile à la SMAI de conduire une réflexion prospective sur les directions de recherche en mathématiques appliquées les plus prometteuses en termes d'avancées scientifiques, d'innovation industrielle, et de retombées sociétales. »

Brochure "Mathématiques L'explosion continue" (2013).
« Depuis une dizaine d'années, de nombreuses initiatives ont vu le jour en France pour mieux appréhender le rôle des mathématiques dans notre société. Les mathématiciens sont ainsi devenus plus conscients qu'ils se devaient de mieux faire connaître les spécificités et l'utilité de leur discipline. Une des premières initiatives fut la publication de l'Explosion des Mathématiques en 2002. Ce recueil a été largement diffusé et traduit en plusieurs langues. Il est maintenant épuisé même s'il reste accessible sur le web. Les quelque dix ans qui nous séparent de cette première édition ont vu une évolution très rapide de toutes les branches des mathématiques et leur développement croissant dans tous les domaines de la société : l'explosion continue ! »

Brochure "Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique" (2015)
« Réalisé en partenariat avec cinq sociétés savantes - la Société mathématique de France (SMF), la Société de mathématiques appliquées et industrielles (SMAI), la Société française de statistique (SFdS), la Société informatique de France (SIF), l'association Femmes & Mathématiques -, ce Zoom sur les métiers contribue au plan de refondation de l'approche des mathématiques engagé par le ministère de l'Éducation nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche. L'enjeu est de dédramatiser les représentations des élèves et de leur famille, de faire comprendre comment les raisonnements mathématiques, associés au numérique, soutiennent les progrès des sciences et des technologies, et de découvrir toutes les opportunités que les mathématiques et l'informatique offrent en termes d'insertion. »

Brochure "Zoom : métiers des mathématiques, de la statistique et de l'informatique" (2021)
« Cette brochure publiée par l'ONISEP a été réalisée en collaboration avec : la Société française de statistique (SFdS), la Société informatique de France (SIF), la Société de mathématiques appliquées et industrielles (SMAI), la Société mathématique de France (SMF), l'association Femmes & Mathématiques, l'Agence pour les Mathématiques en Interaction avec l'Entreprise (AMIES) et la Commission française pour l'enseignement des mathématiques (CFEM).
Elle complète les précédentes brochures sur le sujet par des illustrations de nouveaux métiers d'aujourd'hui : intelligence artificielle, big data, cybersécurité, traitement du langage naturel, blockchain et bien d'autres encore ! »

Rapport d'évaluation quelles mathématiques en France en 2022 ?
Le dossier préparé à cette occasion, puis mis à jour en 2024, sur le site du CNRS : indispensables mathematiques.