Éléments d'histoire des mathématiques l'expérience numérique, géométrique et analytique

2^e période 2023–2024 :

• cours offert en L3 aux étudiants de la mention monodisplinaire en mathématiques
  licence de Sciences et Technologie.
• cours ouvert au télé-enseignement
  (voir instructions particulières pour étudiants à distance).
  
  

David Aubin
professeur d'histoire des sciences

Sorbonne université
Faculté des sciences et ingénierie
Institut de mathématiques de Jussieu-Paris rive gauche
david.aubin@sorbonne-universite.fr
téléphone: + 33 (0)1 44 27 41 18

L'équipe enseignante

David Aubin (david.aubin@imj-prg.fr)
Nicolas Joannes (joannes@imj-prg.fr)

ATTENTION : instructions particulières pour étudiants à distance :
voir la page web dédiée http://webusers.imj-prg.fr/~david.aubin/cours/lu3ma209t.html.

les dates importantes

• vendredi 19 janvier 2024 : début des cours.
• semaine du 22 janvier : début des TD.
• vendredi 15 mars, 10:45-12:45 : examen partiel (voir les annales plus bas).
• date à venir : examen final.

description

Contenu : Le but principal de ce cours est de donner des éléments de l'histoire de la géométrie, de l'algèbre et de l'analyse de l'Antiquité grecque à la première moitié du XX^e siècle. Notre approche se fonde sur l'idée qu'il est éclairant de situer, dans le temps et l'espace, l'« expérience mathématique » ou, plus précisément, plusieurs « expériences » : celle du fait numérique, celle du fait géométrique ou spatial et celle du fait analytique ou de l'infini. La manière dont les hommes (et, historiquement, dans une bien moindre mesure, les femmes) en ont fait l'expérience a varié au cours des âges et selon les civilisations, mais aussi en fonction de leur place dans la société. Nous suivrons en parallèle les tentatives de structuration plus ou moins formelles de ces expériences par les « mathématiciens » (terme dont la signification change également) et les manifestations pratiques des expériences mathématiques dans les sciences et la société.

Objectifs : Acquérir une profondeur historique dans la compréhension de ce que sont les mathématiques, de leurs méthodes, de leurs applications dans les sciences, des enjeux politiques et sociaux qu'elles suscitent à diverses époques. Approfondir la connaissance de certaines notions mathématiques de base (nombre, équation algébrique, espace euclidien et non euclidien, infini, fonction, etc.).

évaluation

participation aux séances de td partiel examen final

20% 30% 50%

NB. Le principe du « points de progression » s'applique : dans le calcul de la note finale, la note de participation n'est prise en compte que si elle est proportionellement supérieure à celles du partiel et du final ; la note du partiel n'est prise en compte que si elle est proportionnelement supérieure à celle du final.

les annales du cours LM300, 3H011 et LU3HS001

• partiel 2022-2023, partiel 2021-2022, partiel 2020-2021, partiel 2014-2015 (corrigé de la partie 1), partiel 2013-2014 (corrigé).
• final 2022-2023, final 2021-2022, final 2020-2021, final 2017-2018 (corrigé de la partie 1),

horaire et salle

• cours magistraux, les vendredis de 10h45 à 12h45, amphi A3,
• séances de TD (pour les salles, voir plus bas) :

  Groupe TD1	mercredi, 16h-17h45	vendredi, 14h-15h45
  Groupe TD3	mardi, 14h-15h45	mercredi, 14h-15h45

les fascicules de textes primaires

• Fascicule 1 : Antiquité.
• Fascicule 2 : périodes médiévale et moderne.
• Fascicule 3 : de la Révolution française au vingtième siècle.

quelques ouvrages de références

• un ouvrage essentiel :
  • Amy Dahan-Dalmedico & Jeanne Peiffer, Une histoire des mathématiques : routes et dédales (Paris : Point-Seuil, 1986).
    
    
• en supplément :
  • David Aubin et Néstor Herran (dir.), Chronologie de l'histoire des sciences (Paris : Bescherelle-Hatier, 2019).
  • Évelyne Barbin, Faire des mathématiques avec l'histoire au lycée (Paris: Ellipses, 2019).
  • Évelyne Barbin, La Révolution mathématique du XVII^e siècle (Paris: Ellipses, 2018).
  • Jean Beaudet, Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques (Paris : Vuibert, 2002).
  • Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques (Paris : Hermann, 1960).
  • Jean Dhombres, Amy Dahan-Dalmedico, Rudolf Bkouche, Christian Houzel & Michel Guillemot, Mathématiques au fil des âges (Paris : Gauthier-Villars, 1987),
  • Catherine Goldstein, Jeremy Gray et Jim Ritter, dir., L'Europe mathématique / Mathematical Europe (Paris : éd. de la Maison des sciences de l'homme, 1996).
  • John Fauvel & Jeremy Gray, The History of Mathematics: A Reader (New York&nbps;: Palgrave MacMillan & The Open University, 1987).
  • Jacqueline Stedall, Mathematics Emerging: A Sourcebook (Oxford : Oxford University Press, 2008).
  • Ivor Grattan-Guiness, dir., Landmark writings in Western mathematics (Amsterdam : Elsevier, 2005).
  • Richard Mankiewicz, L'Histoire des mathématiques, trad. Christian Jeanmougin (Paris : Seuil, 2001.
  • Eleanor Robson & Jacqueline Stedall, Oxford Handbook of the History of Mathematics (Oxford: Oxford Univ. Press, 2008).
  • Michel Serres, dir., Éléments d'histoire des sciences (Paris : Larousse, 1997).

ressources supplémentaires

• sites internet consacrés à l'histoire des mathématiques :
  • The MacTutor History of Mathematics archive.
  • CultureMATH : histoire des mathématiques.
  • Images des mathématiques : histoire des mathématiques.

PROGRAMME DES SÉANCES ; TEXTES À LIRE

Semaine 1

cours 1 (vendredi 19 janvier, 10h45-12h45)
Introduction à l'histoire des mathématiques [notes de cours]

1. Histoire, philosophie et « expérience » des mathématiques
2. Notes sur les mathématiques pré-euclidiennes
3. Introduction aux mathématiques euclidiennes

Semaine 2

cours 2 (vendredi 26 janvier)
Mathématiques grecques : avant et y compris Euclide [notes de cours]

1. Les mathématiques des philosophes présocratiques
2. Athènes et mathématiques platoniciennes
3. L'école d'Alexandrie

TD 1

Groupe TD1	mercredi, 16h-17h45, salle 23-24 107	vendredi, 14h-15h45, salle 54-55, 204
Groupe TD3	mardi, 14h-15h45, salle 24-25 102	mercredi, 14h-15h45, salle 24-25 105

• texte primaire :
  Euclide, Les Eléments, éd. de F. Peyrard (1809), rééd. A. Blanchard, Paris, 1993.
  • Livre 1 : Définitions, demandes, notions communes et Proposition 1.
    Propositions 4 ; 9 et 10 ; 16 et 17 ; 27 à 34 ; 42 à 45 ; et 47 et 48.
• un site web de référence : text, illustrations and comments of Euclid's Elements par David Joyce, Clarke University.
• voir aussi le projet MÉdÉE: Manuscrits et éditions imprimées des Éléments d'Euclide, par Bernard Vitrac et Alain Herreman.
• exemples d'éditions d'Euclide disponibles sur le web :
  • édition en français de D. Henrion (Paris, 1632).
  • édition en français du père Dechalles (revue par Ozanam, Paris, 1738  et par Audierne, Paris 1778).
  • édition trilingue de F. Peyrard (Paris), t. 1 (1804) ; t. 1, livres I-VII (1814) ; t. 2, livres VIII-X (1816), t. 3, livres XI-XIII (1818).

Semaine 3

cours 3 (vendredi 2 février)
Mathématiques grecques : au-delà d'Euclide [notes de cours]

1. D'autres cultures mathématiques ?
2. Euclide, Archimède et leurs contemporains
3. Sciences mathématiques au début de notreère : Ptolémée et Héron – astronomie, musique, mécanique
4. Mathématiques de l'Antiquité : l'exemple de Pappus – 3 grands problèmes

TD 2

Groupe TD1	mercredi, 16h-17h45, salle 23-24 107	vendredi, 14h-15h45, salle 54-55, 204
Groupe TD3	mardi, 14h-15h45, salle 24-25 102	mercredi, 14h-15h45, salle 24-25 105

• Textes primaires : Euclide (suite)
  Euclide, Les Eléments, éd. de F. Peyrard (1809), rééd. A. Blanchard, Paris, 1993.
  • Livre 2 : Propositions 4 et 14.
  • Livre 3 : Définitions.
  • Livre 4 : Définitions, Proposition 6 et Propositions 15 et 16.
  • Livre 5 : Définitions 1-11 et Propositions 11-12.
  • Livre 6 : Définitions, Proposition 2, Prop. 12 et 13 et Prop. 19 et 20 (sans démonstration).
  • Livre 7 : Définitions, Propositions 1 et 2 et Proposition 33.
  • Livre 10 : Définitions 1 et 2  Proposition 1 et 117.
  • Livre 12 : Propositions 1 et 2.
    
    

Semaine 4

cours 4 (vendredi 9 février)
Les mathématiques médiévales entre islam et chrétienté [notes de cours]

1. L'Antiquité tardive  une tradition menacée, l'héritage de Boèce ?
2. Mathématiques en terres d'Islam : héritage, transmission et innovation
3. Le Moyen Âge chrétien en Occident : éclipse et renaissance des mathématiques

TD 3

Groupe TD1	mercredi, 16h-17h45, salle 23-24 107	vendredi, 14h-15h45, salle 54-55, 204
Groupe TD3	mardi, 14h-15h45, salle 24-25 102	mercredi, 14h-15h45, salle 24-25 105

• Textes primaires :
  • Archimède, Œuvres, 4 tomes, trad. C. Mugler (Paris : Les Belles lettres, 1970-72).
    - « La mesure du cercle (proposition 1) » : t. I, p. 138-139.
    - « La quadrature de la parabole » : t. II, p. 164-165.
    [voir la transcription des Œuvres d'Archimède (Peyrard, 1807) sur le site remacle.org.]
  • Apollonius, Les Coniques, trad. P. Ver Eecke (1922 ; rééd. Paris : A. Blanchard, 1959).
    - Livre I, propositions 33, 35 p. 60-61 & 64-65.
    
  • Pappus, La Collection mathématique, trad. P. Ver Eecke (1932 ; rééd. A. Blanchard, 1982).
    - Livre III, p. 38-39 & 40-42.
    - Livre IV, p. 209-214.
    
  • Eutocius, Commentaire, in Archimède, Œuvres, t. IV :
    - « Ménechme », p. 58-60.
    
    
• Texte de référence : Markus Asper, The Two Cultures of Mathematics in Ancient Greece, in Oxford Handbook for the History of Mathematics, 2009 [fichier pdf].

Semaine 5

cours 5 (vendredi 16 février)
Les « mathematiciens » à la Renaissance [notes de cours]

1. Qu'est-ce qu'un mathématicien au 16^e siècle ?
2. Le cas Galilée
3. Six types de praticiens des mathématiques au 16^e siècle

TD 4

Groupe TD1	mercredi, 16h-17h45, salle 23-24 107	vendredi, 14h-15h45, salle 54-55, 204
Groupe TD3	mardi, 14h-15h45, salle 24-25 102	mercredi, 14h-15h45, salle 24-25 105

• Textes primaires :
  
  • Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (mort vers 850),
    Livre concis du calcul de l'al-jabr et l'al-muqabala, trad. A. Djebbar, d'après l'éd. de A. M. Mashrafa & M. Mursi Ahmade (Le Caire, 1969) p. 20-24.
  • Ibn al-Haytham (m. 1039), et commentateur,
    « Traité sur la quadrature du cercle », trad. R. Rashed, in les Mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, t. 2 (Londres, 1993), p. 82-98 (numéros pairs seul.).
  • Nasir al-Din al-Tusi (m. 1274),
    « Opuscule qui délivre des doutes concernant les droites parallèles », trad. K. Jaouiche in La Théorie des parallèles en pays d'Islam (Paris, 1986), p. 215-224.
    
    
• Texte de référence : Ahmed Djebbar, Une histoire des sciences arabes : entretiens avec Jean Rosmorduc (Paris : Point-Seuil, 2001), ch. 5, p. 201-239.

Semaine 6

Vacances d'hiver : ni cours ni TD, la semaine du 19 février.

Semaine 7

cours 6 (vendredi 1^er mars)
Les mathématiques des « Modernes » – la nouvelle analyse [notes de cours]

1. Changement de statut des mathématiques
2. Du nouveau en mathématiques
3. Mathématiques et méthode cartésiennes
4. L'intelligence des ligne courbes

TD 5

Groupe TD1	mercredi, 16h-17h45, salle 23-24 107	vendredi, 14h-15h45, salle 56-66, 209
Groupe TD3	mardi, 14h-15h45, salle 56-66 112	mercredi, 14h-15h45, salle 56-66 112

• Textes primaires :
  
  • Rafael de Bombelli, L'Algebra (Bologne, 1572  2^e éd. 1579), trad. J.-P. Le Goff (IREM de Basse-Normandie, 1998).
    - Livre Ier, p. 47-48.
    - Livre II, p. 57, 59-64.
    
  • Simon Stevin, Œuvres mathématiques , 1634 :
    - « Le Premier Livre d'arithmétique », p. 1-4 & 9-10.
    - « Thèses mathématique », p. 222.
  • Albert Girard, L'invention nouvelle en algèbre (1638) 
    - extrait, 3 pages.
• Texte de référence : Paul Benoit, Calcul, Algèbre et Marchandise, in Éléments d'histoire des sciences, p. 297-336.

Semaine 8

cours 7 (vendredi 8 mars)
Calcul différentiel et intégral : invention, premiers succès, polémiques [notes de cours]

1. Un nouveau calcul  Newton et Leibniz
2. Diffusion du calcul différentiel et intégral
3. La question des fondements
4. Sciences mathématiques au siècle des Lumières

TD 6

Groupe TD1	mercredi, 16h-17h45, salle 23-24 107	vendredi, 14h-15h45, salle 56-66, 209
Groupe TD3	mardi, 14h-15h45, salle 56-66 112	mercredi, 14h-15h45, salle 56-66 112

• Textes primaires :
  • Pierre Fermat, Œuvres, supplément 
    - « Méthode de maximis et minimis » (1638), p. 74-76.
  • René Descartes :
    - La Géométrie (1re éd., Leyde, 1637), Livre I, p. 297-304.
    - La Géométrie (rééd., Paris, 1886), Livre II, p. 15-17 & Livre III, p. 54-57, 59-60 & 63-69.
    - Œuvres de Descartes (rééd., Paris: Vrin, 1976), « Correspondance avec Élisabeth » (1643), t. IV, p. 37-42.
    
  • Jean Prestet, Nouveaux élémens de mathématiques (1689 ; 2^e éd. Paris, 1694), t. II, p. 371-372.

Semaine 9

Examen partiel. (vendredi 15 mars)
pendant la période des cours magistraux, 10h45-12h45

Semaine 10

cours 8 (vendredi 22 mars)
Mathématiques pures et sciences physico-mathématiques  au siècle des Lumières
[notes de cours]

1. L'Encyclopédie et les mathématiques des Lumières
2. Mathématiques mixtes : la figure de la Terre
3. Mathématiques pure : la notion de fonction
4. Mathématiques mixtes : les cordes vibrantes

TD 7

Groupe TD1	mercredi, 16h-17h45, salle 23-24 107	vendredi, 14h-15h45, salle 23-24 107
Groupe TD3	mardi, 14h-15h45, salle 14-24 208	mercredi, 14h-15h45, salle 14-24 108

• Textes primaires : l'invention du calcul différentiel et intégral
  • Isaac Newton, La méthode des fluxions et des suites infinies, trad. Georges Buffon (1740 ; réimp. Blanchard, 1994), p. 1-4.
  • Guillaume François Antoine, marquis de l'Hôpital, Analyse des infiniment petits, pour l'intelligence des lignes courbes (Paris, 1696), p. 1-14 (avec figures 1-5).
  • Gottfried Wilhelm Leibniz, « Aperçu d'une nouvelle analyse concernant la science de l'infini appliquée aux sommes et aux quadratures », Acta eruditorum (mai 1702) ; trad. M. Parmentier, in Leibniz : la naissance du calcul différentiel (Paris: Vrin, 1989), p. 387-401.
    
    
• Un texte de référence :
  Jeanne Peiffer, « Fluxions et différences », Cahiers de Science & Vie, n° 38 (avril 1997), p. 46-54.

Semaine 11

cours 9 (vendredi 29 mars)
Les révolutions mathématiques du 19^e siècle : contexte et analyse [notes de cours]

1. Révolutions mathématiques :
   • Les révolutions scientifiques et mathématiques
   • Révolution française et enseignement des mathématiques
   • Nouvelles conditions du travail mathématiques
2. Réforme de l'analyse :
   • Les traités et les fondements
   • La rigueur analytique
   • Les séries de Fourier et l'intégration

TD 8

Groupe TD1	mercredi, 16h-17h45, salle 23-24 107	vendredi, 14h-15h45, salle 23-24 107
Groupe TD3	mardi, 14h-15h45, salle 14-24 208	mercredi, 14h-15h45, salle 14-24 108

• Textes primaires : fondements de l'analyse
  • Leonhard Euler, Introduction à l'analyse infinitésimale (Lausanne, 1748; trad. J. Labey, Paris, 1796), t. I, p. 1-6, 45-47, 92-93, 96-98 & 102.
    
  • Leonhard Euler, Recherches sur les racines imaginaires des équations, HAB pour l'année 1749 (1751), p. 258-264.
  • Joseph-Louis Lagrange, Théorie des fonctions analytiques (Paris, 1797 ; 2^e éd 1813 = Œuvres de Lagrange, t. 9) :
    Partie I : chap. 1, p. 21-22 ; chap. II, p. 31-33.
    
    
• Textes complémentaires : le théorème fondamental de l'algèbre
  
  • Albert Girard, L'invention nouvelle en algèbre (1629), extrait.
  • René Descartes, La Géométrie (1637), p. 372-373.
  • Jean Le Rond D'Alembert, Recherches sur le calcul intégral, Histoire de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin [HAB] pour l'année 1746 (1748), p. 182-192.
  • Joseph-Louis Lagrange, Sur la forme des racines imaginaires des équations, Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres pour l'année 1772 (1774), p. 222-224.
  • Carl Friedrich Gauss, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicum rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (Helmstadt, 1799) ; trad. fr., extraits.
  • Carl Friedrich Gauss, Disquitiones arithmeticæ (Leipzig, 1801), trad. Recherches arithmétiques (Paris, 1807), p. 429, 487-489.

cours 10 (vendredi 5 avril)
les révolutions mathématiques du 19^e siècle : géométrie et algèbre [notes de cours]

1. Renouveau de la géométrie :
   • Précurseurs : la théorie des parallèles
   • Géométries descriptive et projective
   • Les géométries non euclidiennes
   • Géométrie et expérience
2. Explosion de l'algèbre :
   • Résolution des équations algébriques
   • Groupes, imaginaires, géométries : le calcul sur de nouveaux objets
   • L'axiomatisation

TD 9

Groupe TD1	mercredi, 16h-17h45, salle 23-24 107	vendredi, 14h-15h45, salle 23-24 107
Groupe TD3	mardi, 14h-15h45, salle 14-24 208	mercredi, 14h-15h45, salle 14-24 108

• Textes primaires : les nouveaux cours de mathématiques
  • Augustin-Louis Cauchy :
    - Cours d'analyse de l'École polytechnique, 1^re partie : Analyse algébrique (Paris, 1821 = Œuvres, sér. II, t. 3), p. ii-v, 19, 37-39, 43-45 & 114-121.
    - Résumé des leçons données à l'École polytechnique sur le calcul infinitésimal (Paris, 1823 = Œuvres, sér. II, t. 4), p. v-vi, 9-12, 145-148.
  • Adrien-Marie Legendre, Éléments de géométrie, 12^e éd. (Paris, 1823), avertissement, p. 20-23, 26-27 & planche de figures.
  • Charles Méray, « Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limites à des variables données », Revue des sociétés savantes 4 (1869), 280-289.
  
  
• Textes complémentaires : le problème des cordes vibrantes
  • Jean Le Rond D'Alembert, Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration, HAB pour l'année 1750 (1752), § II, p. 358.
  • Jean Le Rond D'Alembert, Recherches sur les vibrations des cordes sonores, Opuscules mathématiques (Paris, 1761), tome 1, Mémoire 1, § XI, p. 22-24.
  • Jean Le Rond D'Alembert, Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration, Histoire de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin [HAB] pour l'année 1747 (1750), p. 214-219 & 230-232.
  • Daniel Bernoulli, Réflexions et éclaircissemens sur les nouvelles vibrations des cordes exposées dans les mémoires de l'Académie de 1747 & 1748, HAB pour l'année 1753 (1755), p. 147-148, 152-154 & 156-158.
  • Leonhard Euler, Remarques sur les mémoires précédents de M. Bernoulli, HAB pour l'année 1753 (1755), p. 214-217.
  
  
• Un texte de référence :
  Éric Brian, « 1700-1800 : le temps long d'une révolution mathématique », Cahiers de science & vie, n° 38 (1997), p. 6-18.

Semaine 13 et 14

Vacances de printemps : ni cours ni TD, les semaines des 8 et 15 avril.

Semaine 15

cours 11 (jeudi 26 avril)
Saisir les mathématiques du 20^e siècle [notes de cours]

1. Mathématiques au 20^e siècle&nbps;: survols, problèmes de Hilbert
2. Crise des fondement
3. Guerre mondiales
4. Mathématiques après 1945 : quelques lignes directrices

TD 10

Groupe TD1	mercredi, 16h-17h45, salle 23-24 107	vendredi, 14h-15h45, salle 23-24 107
Groupe TD3	mardi, 14h-15h45, salle 14-15 105	mercredi, 14h-15h45, salle 14-24 108

• Textes primaires : géométries non euclidiennes et nombres réels
  • Nikolai Lobatchevski, Études géométriques sur la théorie des parallèles (1840), trad. J. Houël (Paris, 1866), p. 9-22, 50-51.
  • Eugenio Beltrami, « Essai d'interprétation de la géométrie non euclidienne », trad. J. Houël, Annales scientifiques de l'école normales supérieure 6 (1869), p. 251-254, 260-262.
  • Richard Dedekind, « Continuité et nombres irrationnels » (1872), in Jean Dhombres, Amy Dahan-Dalmedico, Rudolf Bkouche, Christian Houzel & Michel Guillemot, Mathématiques au fil des âges (Paris : Gauthier-Villars, 1987), p. 145-149.
    
    
• Textes complémentaires :
  
  • P.-L. Wantzel, « Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas », Journal de mathématiques pures et appliquées 2 (1837), p. 366-370 & errata, p.487.

Semaine 16

cours 12 (vendredi 3 mai)
révisions

TD 11

Groupe TD1	vendredi, 14h-15h45, salle 56-66 209
Groupe TD3	mardi, 14h-15h45, 14-15 105

• Textes primaires : les nouveaux fondements
  • Hermann von Helmholtz, Les axiomes de la géométrie, Revue des cours scientifiques 7 (1870), p. 498-501.
  • Henri Poincaré, Les Géométries non euclidiennes, La Science et l'hypothèse, Flammarion, Paris, 1902, chapitre 3, p. 55-71.
  • Nicolas Bourbaki :
    - « L'architecture des mathématiques », in Les Grands Courants de la pensée mathématique, dir. François Le Lionnais (Paris, 1948), p. 35-47.
    - « Mode d'emploi de ce traité », in Éléments de mathématique (Paris : Hermann, 1940- ), feuillet, 4 p.
  
  
• Texte complémentaire :
  
  • David Hilbert, Grundlagen der Geometrie (1899 ; 7e éd. Berlin, 1930) ; Les Fondements de la géométrie, trad. P. Rossier (Paris, 1971), p. 10-11, 39 (voir un extrait plus complet).

Dernières modifications : 18 janvier 2024.
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